1975年莫斯科经济学院数学竞赛真题解析

1975年莫斯科经济学院数学竞赛真题解析

在数学竞赛的历史长河中，1975年莫斯科经济学院的数学竞赛试题以其独特的难度和深度，吸引了无数数学爱好者的关注。本文将围绕这一年的竞赛真题，进行详细的解析。

1975年莫斯科经济学院数学竞赛的试题涵盖了代数、几何、数论等多个领域，每一道题目都充满了挑战性。以下是其中几道具有代表性的试题解析：

试题一：

已知函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2} - x$，求函数 $f(x)$ 的反函数。

解析：

首先，求出 $f(x)$ 的定义域。由于 $f(x)$ 是一个根号函数，所以 $1+x^2 \geq 0$，即 $x \in (-\infty, +\infty)$。接着，求出 $f(x)$ 的值域。由于 $f(x)$ 的图像是一个右半圆的下半部分，所以值域为 $[0, +\infty)$。

然后，解出 $y = f(x)$ 的反函数。将 $f(x)$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换，得到 $x = \sqrt{1+y^2} - y$。解出 $y$，得到 $y = \sqrt{1+x^2} - x$。因此，$f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{1+x^2} - x$，定义域为 $[0, +\infty)$。

试题二：

在平面直角坐标系中，已知点 $A(1, 2)$，$B(3, 4)$，求直线 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标。

解析：

直线 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标可以通过计算点 $A$ 和点 $B$ 的坐标的平均值得到。即：

$$M_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$M_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

因此，直线 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2, 3)$。

试题三：

已知正整数 $n$，求 $n!$ 的最后一位非零数字。

解析：

首先，观察 $n!$ 的因数分解。$n!$ 可以分解为 $2^k \cdot 3^l \cdot 5^m \cdot \ldots$，其中 $k$、$l$、$m$ 分别表示 $n!$ 中包含的 $2$、$3$、$5$ 的个数。

由于 $2$ 和 $5$ 的乘积为 $10$，所以 $n!$ 的末尾有 $k$ 个 $0$。为了找到最后一位非零数字，我们需要将 $n!$ 除以 $10^k$，然后找到余数的最后一位数字。

接下来，观察 $n!$ 中 $5$ 的个数 $m$。由于每隔 $5$ 个数字就有一个 $5$，所以 $m = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \ldots$。将 $n!$ 除以 $5^m$ 后，剩下的数字的末尾一位非零数字即为所求。

通过对这些试题的解析，我们可以看到，1975年莫斯科经济学院数学竞赛的真题不仅考察了参赛者的数学知识，更锻炼了他们的思维能力和解决问题的技巧。这些试题至今仍具有很高的研究价值，对于数学爱好者来说，是一次难得的学习机会。